Opera Logika

Matematika Diskrit Proposisi, Tautologi, Kontradiksi, Kontingensi dan Ekuivalensi

    A. Pengertian Operator Logika 
        Ilmu logika berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen) dan hubungan-hubungan yang ada pada kalimat tersebut. Tujuannya adalah untuk memberikan aturan-aturan sehingga orang dapat menentukan apakah suatu kalimat bernilai besar. Kalimat yang di pelajari dalam logika bersifat umum , baik dalam bahasa sehari-hari ataupun bukti matematika yang didasarkan atas hipotesa-hipotesa. Oleh karena itu aturan didalamnya bersifat umum, tidak tergantung pada kalimat .Ilmu logika lebih mengarah kepada bentuk kalimat (sintaks) dari pada kalmat itu sendri (semantik).
        Operator logika ialah logika yang mengunakan bahasa matematika yang menggunakan bahasa matematika yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol-simbol. Keuntungan atau kekuatan bahasa simbol ialah ringkas, univalen ( bermakna tunggal), dan universal (dapat di pakai di mana-mana).

B. Pernyataan Majemuk

       Pernyataan majemuk merupakan gabungan dari pernyataan-pernyataan tunggal (yang disebut komponen dari pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung logika seperti dan ,atau, jika ..... maka, dan jika ..... hanya jika.

Nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk ditentukan hanya oleh nilai kebenaran dari masing-masing komponennya. Oleh karena itu, antara kompenen-komponen dalam  pernyataan majemuk boleh tidak ada hubungan.

  

1. PROPOSISI, OPERATOR, TABEL KEBENARAN DAN KALIMAT MAJEMUK.

1. a)      Pengertian Proposisi

Proposisi merupakan suatu statement atau pernyataan pada matematika dimana statement tersebut digunakan sebagai kalimat dalam penalaran yang memiliki nilai Benar (True) atau bernilai Salah (False). Statement pada proposisi yang ada pada matematika biasanya 8 mengandung simbol p, q, dan r. Simbol-simbol itu merupakan simbol umum untuk identitas kalimat pada proposisi. Kalimat proposisi itu sendiri tersusun dari kalimat biasa yang jika dibuktikan kebenarannya akan menghasilkan nilai benar atau salah. Biasanya nilai benar disimbolkan dengan T dan nilai salah disimbolkan dengan F. Proposisi ada pada sebuah atau lebih kalimat yang dapat dibuktikan nilai kebenarannya. Contoh kalimat proposisi adalah sebagai berikut:

 a. Seminggu memiliki 7 hari

b. 5 + 5 = 10

c. DKI Jakarta adalah  ibukota Negara Indonesia

d. Kupu-kupu adalah hewan mamalia

 Dari contoh di atas, dapat kita ketahui dimana kalimat a, b, dan c adalah pernyataan yang benar. Sedangkan kalimat d adalah salah. Itulah yang merupakan proposisi, dapat diketahui nilai kebenarannya.

b)      Pengertian Negasi

   Operasi negasi (negation) atau penyangkalan, atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan dengan tanda   “  ” atau “ – “ yang disebut tilde atau curl. Untuk selanjutnya akan dipakai simbol .   Seandainya p sebuah pernyatan tunggal, maka “ p” dibaca negasi p atau tidak p, atau bukan p, adalah pernyataan majemuk. Mungkin ada yang merasa agak janggal bahwa negasi merupakan suatu operasi logika matemtika, sehingga suatu pernyataan bernegasi atau penyangkalan dari suatu pernyataan merupakan suatu pernyataan majemuk. Namun jelaslah bahwa dalam pernyataan-pernyataan negasi itu pertama-tama terdapat suatu pernyataan atau proposisi yang bersifat tunggal,

misalnya : Harimau adalah binatang buas Untuk menjadikan suatu pernyataan negasi, diperlukan pernyataan lain, yang menyatakan bahwa proposisi yang pertama tadi tidak benar, misalnya : Itu tidak benar

 

a.      Konjungsi (^)

Dua pernyataan p dan q dapat digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk menggunakan konjungsi menjadi p^q (dibaca “p dan q).
Tabel kebenaran:

p	q	p^q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

 

 

b.    Disjungsi (v)

Dua pernyataan p dan q dapat di gabungkan menjadi satu pernyataan majemuk menggunakan disjungsi menjadi menjadi p v q (dibaca “p atau q”)

P	q	p v q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

c.      Implikasi (-->)

Dua pernyataan p dan q dapat digabungkan menjadi pernyataan majemuk menggunakan disjungsi menjadi p => q (dibaca “jika p maka q”)

Tabel kebenaran:

P	q	p à q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

bentuk-bentuk pernyataan majemuk :

a.       q=> p disebut konvers

b.      ~p=> ~q disebut invers

c.       ~q=> ~p disebut kontraposisi

=> q  ~q=> ~p disebut implikasi dengan ekuivalen dan kontraposisinya.

d.     Bimplikasi (<-->)

Dua peryataan p dan q dapat digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk menggunakan biimplikasi pó q .

Tabel kebenaran:

P	q	p ß> q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

                       Contoh soal:

 p : Saya memakai mantel

q : saya merasa dingin

maka, p => q = “Saya memakai mantel jika dan hanya jika saya merasa dingin”.

 Pengertian kita adalah “Jika saya memakai mantel maka saya merasa dingin” dan juga “Jika saya merasa dingin maka saya memakai mantel”. Terlihat bahwa jika saya memakai mantel merupakan syarat perlu dan cukup bagi saya merasa dingin, dan saya merasa dingin merupakan syarat perlu dan cukup bagi saya memakai mantel. Terlihat bahwa kedua peristiwa itu terjadi serentak.

Contoh Soal :

Jika, p : Ima anak pandai, dan

        q : Ima anak cekatan.

maka p ∧ q  : Ima anak pandai dan cekatan

Pernyataan p ∧ q bernilai benar jika Ima benar-benar anak pandai dan benar-benar anak cekatan.

Apabila p ∧ q jika di negasikan menjadi ~p  ∨ ~q

Maka ~p  ∨ ~q : Ima bukan anak pandai atau bukan cekatan

2.      TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, DAN KONTINGENSI 

             

1) Pengertian Tautolog   

                 Adalah proposisi majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan kompenennya. Sebuah tautologi yang membuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. 

      Contoh: Perhatikan argument berikut: 

     “Jika Toni pergi kuliah, maka Dini juga akan pergi kuliah. Jika siska tidur, maka Dini pergi

       kuliah. Dengan demikian, jika Toni pergi kuliah atau Siska tidur, maka Dini pergi kuliah.”Maka sekarang dapat ditulis : ((A --> B) ^ (C --> B)) à (A V C) --> B.

 

A	B	C	A-->B	C-->B	((A-->B) ^ (C-->B)	A v C	(Av C)-->B	SOAL
B	B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	B	B	B	B	B
B	S	B	S	S	S	B	S	B
B	S	S	S	B	S	B	S	B
S	B	B	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	B	B	S	B	B
S	S	B	B	S	S	B	S	B
S	S	S	B	B	B	S	B	B

     

Dari table kebenaran di atas menunjukan bahwa peryataan ((A--> B) ^ (C --> B)) --> (A V C) --> B adalah semua benar (Tautologi)

 

2) Pengertian Kontradiksi

Kontradiksi adalah proposisi majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari proposisi-proposisi nilai pembentukan.

Contoh dari kontradiksi:

P ^ (~ p ^ q )

P	Q	~p	(~ p ^ q )	P ^ (~ p ^ q )
B	B	S	S	S
B	S	S	S	S
S	B	B	B	S
S	S	B	S	S

            Ini adalah table kebenaran yang menunjukan kontradiksi dengan alasan. Yaitu semua pernyataan bernilai salah

3) Pengertian Kontingensi

       adalah suatu ekspresi ligika yang mempunyai nilai benar

dan salah di dalam table kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai

kebenarannya dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya. Ini

termasuk bentuk campuran dari nilai benar (B) dan salah (S).

      Contoh dari kontingensi:

P v Q à R

P	Q	R	P v Q	(P v Q) à R
B	B	B	B	B
B	B	S	B	S
B	S	B	B	B
B	S	S	B	S
S	B	B	B	B
S	B	S	B	S
S	S	B	B	B
S	S	S	S	B

Ini adalah table kebenaran yang menunjukan kontingensi dengan alasan.

Yaitu semua pernyataan bernilai benar dam salah.

3.      EKUVALENSI

1)      Pengertian Ekuialensi

           Dua pernyataan tersebut dikatakan ekuivalensi jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponen mempunyai nilai yang  sama.

      Tabel Kebenaran:

B	B	S	B	B
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

 

     

            Ini adalah table kebenaran yang menunjukan ekuivalensi dengan alasan. yaitu semua pernyataan bernilai sama.

      2)      Bentuk Logika Ekuivalensi 
     a.     Hukum Komutatif

a)      p ^ q ≡ q ^ p

b)      p ^v q ≡ q ^v p

b.      Hukum Asosiatif

a)      ( p ^ q) ^ r ≡ p ^ (q ^ r)

b)      ( p ^v q) v  r ≡ p v (q ^v r)

 

  c.       Hukum Distributif

a)      p  ^ (q ^v r) ≡ (p ^ q) ^v (p ^ r)

b)      p  ^v (q ^ r) ≡ (p ^v q) ^v (p ^v r)

 d.      Hukum de Morgan

a)      ~ (p ^ q) ≡ ~p ^v  ~q

b)      ~ (p ^v q) ≡ ~p ^ ~q

c)      ~ (p à q) ≡ ~p ^ ~q

d)      p à q ≡ ~p ^v  ~q

DAFTAR PUSTAKA

Wahyuhartati. (2016, Agustus). logika matematika,tautologi, kontradiksi dan kontingensi. Retrieved from tautologi, kontradiksi dan kontingensi: https://www.google.com/amp/s/wahyuyucha.wordpress.com/2016/08/30/logika-matematika-tautologi-kontradiksi-kontingensi/amp/#ampshare