Kamis, 04 Oktober 2018

Matematika Diskrit "RELASI"


[ Tugas Kuliah ] Matematika Diskrit | Relasi
Tugas TI POLITALA Matdis 1A
Nama            : Vify Alaisia Melyani
Kelas             : 1A Teknik Informatika
NIM              : 1801301110
Matkul           : Matdis Tugas 5
Semester        : Semester 1
                                    RELASI   

    Di materi Relasi ini, saya akan membahas tentang hubungan/ relasi, hubungan antara dua unsur/himpunan yang tidak kosong dengan satu aturan hubungan/perkaitan tertentu, Penjelasan yang saya akan jelaskan meliputi definisi dan fungsi, operasi dan sifatnya.


A. Pengertian Relasi    

      Kita misalkan E & F sebagai himpunan, hubungan antara himpunan E & himpunan F merupakan himpunan yang memiliki pasangan atau huruf/ angka yang berurutan,  tetapi  mengikuti aturan tertentu.

Example:
Misal E  = {2, 4, 6} dan F = {2, 4, 6, 8 }.
E × F menjadi :
E × F = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 8)}
Jika menggunakan aturan relasi/ hubungan diatas, relasi R dari E  ke F  yang  mengikuti aturan tadi menjadi,
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)}
Hubungan/Relasi bisa juga  terjadi hanya pada satu atau sebuah himpunan, yaitu hubungan  pada E, di himpunan E, yang merupakan himpunan E × E.



B. MACAM-MACAM RELASI dan SIFAT-SIFAT RELASI
     1.  RELASI BINER
          Adalah hasil kali 2 himpunan atau relasi yang menghubungkan 2 himpunan yang himpunan 
       bagianya tidak kosong.
       Sifat-sifat relasi Biner :
          a.  Reflektif
               Suatu relasi bersifat reflektif , jika setiap x Ñ” A, maka (A,A) Ñ” R
           Contoh :
           B = {1,2,3} dan R = {(x,y)│x,y Ñ” B, xy > 0}
           Apakah R reflektif atau tidak ? 
           Peny :
           B x B = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,3) dari hasil kali Cartesian kita 
                         memperoleh R = {(1,1),(2,2),(3,3)}. 
           Karena semua hasil xy > 0 dan x Ñ” B, maka R adalah relasi yang reflektif.

          b. Simetris
              Suatu relasi bersifat simetrik, jika untuk setiap x,y Ñ” A dengan xRy dan yRx
          Contoh :
          M = {-2,-1,0,1,2} dan R = {(x,y) │x,y Ñ” M,  xy > 0}
          Apakah R simetris atau tidak ?
          Peny :
          M x M = {(-2,-2), (-2,-1), (-2,0), (-2,1), (-2,2), (-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2)
                          (0,-2), (0,-1), (0,0), (0,1), (0,2), (1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2),(2,-2)
                          (2,-1), (2,0), (2,1), (2,2)}, dari hasil kali Cartesian kita memperoleh
                          R = {(-2,-2), (-2,-1), (-1,-2), (-1,-1), (1,1), (1,2), (2,2)}
           Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap (x,y) Ñ” R berlaku (y,x) Ñ” R dengan x,y Ñ” M. 
           Jadi R adalah sebuah relasi yang simetris.

        c. Antisimetris
            Suatu Relasi bersifat antisimetris, jika untuk setiap x,y Ñ” A dengan xRy dan yRx maka x = 
         y.
        Contoh :
        A  = {-2,-1,0,1,2} dan R = {(x,y) │x,y Ñ” A,  y = │x }
        Apakah R antisimetris atau tidak ?
        Peny :
        M x M = {(-2,-2), (-2,-1), (-2,0), (-2,1), (-2,2), (-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2)
                          (0,-2), (0,-1), (0,0), (0,1), (0,2), (1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2),(2,-2)
                          (2,-1), (2,0), (2,1), (2,2)},  dari hasil kali Cartesian kita memperoleh
                           R = {(-2,2),(-1,1),(1,1),(0,0),(2,2)}
        Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap (x,y) Ñ” R berlaku (y,x) Ñ” R dengan x,y Ñ” A. Jadi 
        R adalah sebuah relasi yang antisimetris.
  
       d. Transitif

           Suatu Relasi bersifat transitif, jika setiap x,y,z Ñ” A dengan xRy, yRz, dan xRz
        Contoh :
        A = {-1,0,1} dan R = {(x,y) │x,y Ñ” A, x ≥ y}
        Apakah R transitif atau tidak
        Peny :
        A x A = {(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1,1)} dari hasil kali 
        Cartesian kita memperoleh,
        R = {(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,0), (0,1), (1,1)}
        Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap (x,y,z Ñ” A) dengan xRy dan yRz, berlaku xRz.




     2. RELASI EKIVALEN
         Adalah relasi yang memenuhi 3sifat relasi yaitu reflektif, simetris dan transitif.
      Contoh :
      B = {a,b,c,d} dan R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d)}
      Apakah R ekivalen atau tidak ? 
      Peny :
              a.        Reflektif    : {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}, ya reflektif karena x Ñ” B berlaku (x,x) Ñ” R
              b.       Simetris     :  Karena untuk setiap x,y Ñ” B dengan xRy berlaku yRx, maka R simetris.
                                      Contoh : {(a,b),(b,a)}
              c.      Transitif    : {(a,b),(b,a),(a,a)}, karena x,y,z Ñ” B dengan xRy dan yRz berlaku xRz,
              Maka R adalah relasi yang transitif.
              Karena tiga sifat diatas yaitu reflektif, simetrik dan transitif dipenuhi maka kita dapat 
              simpulkan bahwa R adalah relasi ekivalen.


     3. RELASI TOLAK PARSIAL (POSET)
         Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial jika ia refleksif, tolak 
     setangkup, dan menghantar. Himpunan S bersama-sama dengan relasi R  disebut himpunan  
     terurut sacara parsial, dan dilambangkan dengan (S, R).
     Contoh 1:
     Relasi  pada himpunan bilangan bulat adalah relasi pengurutan parsial.
     Penyelesaian:
     Relasi refleksif             : karena a  a untuk setiap bilangan bulat a
     Relasi  tolak-setangkup : karena jika a  b dan b  , maka a = b.
    Relasi  menghantar         : karena jika a  b dan b c maka a  c.
    Contoh 2:
    A = himpunan siawa SMP
    R = relasi pada A
    (ab)  R jika a sekelas dengan b. Tentukan (A, R)
    Penyelesaian:
    R refleksif                        : setiap siswa SMP sekelas dengan dirinya sendiri
    R tolak setangkup            : jika a sekelas dengan b, maka b pasti sekelas dengan a.
    R menghantar                   : jika a sekelas dengan b dan b sekelas dengan c, maka
    pastilah a sekelas dengan c. 
     Catatan : Secara intuitif, di dalam relasi pengurutan parsial, dua buah benda saling 
                       berhubungan jika salah satunya lebih kecil (lebih besar) atau lebih rendah (lebih 
                       tinggi)  daripada lainnya.




    4. REPRESENTASI
        a. Representasi Notasi : R (A x B)
            Jika (a, b) R , maka kita dapat gunakan notasi a R b yang artinya a dihubungkan dengan b         oleh R. Namun jika (a, b) R, maka kita dapat gunakan notasi a R b yang artinya a tidak  
        dihubungkan dengan b oleh relasi R.
         Misalkan P = {2,4,6} dan Q = {2,4,8,10,12,13}.
         Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan :
         (p,q) R jika p habis membagi q.
        maka kita peroleh
        R = {(2,2),(2,4),(2,8),(2,10),(2,12),(4,4),(4,8),(4,12),(6,12)}

        b. Representasi Table

             Relasi dapat direpresentasikan menggunakan tabel. Kolom pertama untuk menyatakan  
         daerah asal, sedangkan kolom kedua untuk menyatakan daerah hasil.
         Misalkan P = {2,4,6} dan Q = {2,4,8,10,12,13}.
         Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan :
         (p,q)  R jika p habis membagi q.
         maka kita peroleh
         R = {(2,2),(2,4),(2,8),(2,10),(2,12),(4,4),(4,8),(4,12),(6,12)}
 

 

       c. Representasi  Matriks
           Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, …, an} dan B ={b1, b2, …, bn}. Relasi R dapat  
       disajikan dengan matriks M = [mij], dimana :

 


      Dengan kata lain, elemen matriks bernilai 1 jika dihubungkan dengan bj, dan bernilai 0 
      jika tidak dihubungkan dengan bj.
      Relasi pada contoh 1 dapat dinyatakan dengan matriks berikut :

       Dalam hal ini, a1 = Andi, a2 = Beni, a3 = Caca, dan b1 = TI231, b2 = TI321, b3 = TI412 ,
       b4 = TI221.

     
      d. Representasi Graf Berarah
          Pada graf berarah, tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (vertex), dan tiap  
      pasangan nya dinyatakan dengan busur (arc) yang arahnya ditunjukkan pada sebuah panah.  
      Jadi, jika (a, b) R, maka busur dibuat dari simpul a ke simpul b.  Simpul a disebut simpul 
      asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).
     Contoh :
      a. Representasi graf untuk relasi R = {(a,b), (a,c), (b,a), (b,c), (c,d),(a,d)}
      b. Representasi graf untuk relasi R = {(2,2), (2,5), (2,7), (3,8)}
      Ditunjukkan pada gambar berikut :


 

     Setiap elemen pada himpunan A maupun himpunan B gambarkan dengan sebuah simpul (titik   
     bulat) dan arah dari suatu elemen ke elemen yang lainnya ditunjukkan dengan sebuah panah.  
     Representasi dengan model ini dapat dikatakan paling mudah untuk dibaca dibanding kedua 
     representasi yang lainnya.

 

 DAFTAR PUSTAKA