[
Tugas Kuliah ] Matematika Diskrit | Relasi
Tugas
TI POLITALA Matdis 1A
Nama
: Vify Alaisia Melyani
Kelas
: 1A Teknik
Informatika
NIM
: 1801301110
Matkul
: Matdis Tugas 5
Semester
: Semester 1
Di materi Relasi ini, saya akan membahas tentang
hubungan/ relasi, hubungan antara dua unsur/himpunan yang tidak kosong dengan
satu aturan hubungan/perkaitan tertentu, Penjelasan yang saya akan jelaskan
meliputi definisi dan fungsi, operasi dan sifatnya.
A. Pengertian Relasi
Kita misalkan E & F sebagai himpunan, hubungan
antara himpunan E & himpunan F merupakan himpunan yang
memiliki pasangan atau huruf/ angka yang berurutan, tetapi
mengikuti aturan tertentu.
Example:
Misal E = {2, 4, 6} dan
F = {2, 4, 6, 8 }.
E × F menjadi :
E × F = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2), (4,
4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 8)}
Jika menggunakan aturan relasi/
hubungan diatas, relasi R dari E ke F yang mengikuti aturan tadi menjadi,
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)}
Hubungan/Relasi bisa juga
terjadi hanya pada satu atau sebuah himpunan, yaitu hubungan pada E, di
himpunan E, yang merupakan himpunan
E × E.
B.
MACAM-MACAM RELASI dan SIFAT-SIFAT RELASI
1. RELASI BINER
Adalah
hasil kali 2 himpunan atau relasi yang menghubungkan 2 himpunan yang himpunan
bagianya tidak kosong.
Sifat-sifat
relasi Biner :
a.
Reflektif
Suatu
relasi bersifat reflektif , jika setiap x Ñ” A, maka (A,A) Ñ” R
Contoh :
B
= {1,2,3} dan R = {(x,y)│x,y Ñ” B, xy > 0}
Apakah R reflektif atau tidak ?
Peny :
B x B =
{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,3) dari
hasil kali Cartesian kita
memperoleh R = {(1,1),(2,2),(3,3)}.
Karena semua
hasil xy > 0 dan x Ñ” B, maka R adalah relasi yang reflektif.
b. Simetris
Suatu relasi bersifat simetrik, jika
untuk setiap x,y Ñ” A dengan xRy dan yRx
Contoh :
M =
{-2,-1,0,1,2} dan R = {(x,y) │x,y Ñ” M, xy > 0}
Apakah R simetris atau tidak ?
Peny :
M x M = {(-2,-2), (-2,-1), (-2,0),
(-2,1), (-2,2), (-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2)
(0,-2), (0,-1), (0,0), (0,1), (0,2), (1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2),(2,-2)
(2,-1), (2,0), (2,1), (2,2)}, dari hasil kali Cartesian kita memperoleh
R = {(-2,-2), (-2,-1), (-1,-2),
(-1,-1), (1,1), (1,2), (2,2)}
Dari sini jelas terlihat bahwa untuk
setiap (x,y) Ñ” R berlaku (y,x) Ñ” R dengan x,y Ñ” M.
Jadi R adalah sebuah relasi
yang simetris.
c. Antisimetris
Suatu Relasi bersifat antisimetris, jika untuk setiap x,y Ñ” A dengan xRy
dan yRx maka x =
y.
Contoh :
A = {-2,-1,0,1,2} dan R = {(x,y) │x,y Ñ”
A, y = │x }
Apakah R antisimetris atau
tidak ?
Peny :
M x M = {(-2,-2), (-2,-1), (-2,0),
(-2,1), (-2,2), (-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2)
(0,-2), (0,-1), (0,0), (0,1), (0,2), (1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2),(2,-2)
(2,-1), (2,0), (2,1), (2,2)}, dari hasil kali Cartesian kita memperoleh
R =
{(-2,2),(-1,1),(1,1),(0,0),(2,2)}
Dari sini jelas terlihat bahwa untuk
setiap (x,y) Ñ” R berlaku (y,x) Ñ” R dengan x,y Ñ” A. Jadi
R adalah sebuah relasi
yang antisimetris.
d.
Transitif
Suatu Relasi bersifat transitif,
jika setiap x,y,z Ñ” A dengan xRy, yRz, dan xRz
Contoh :
A =
{-1,0,1} dan R = {(x,y) │x,y Ñ” A, x ≥ y}
Apakah R transitif atau
tidak
Peny :
A x A = {(-1,-1), (-1,0), (-1,1),
(0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1,1)} dari hasil kali
Cartesian kita
memperoleh,
R = {(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,0),
(0,1), (1,1)}
Dari sini jelas terlihat bahwa untuk
setiap (x,y,z Ñ” A) dengan xRy dan yRz, berlaku xRz.
2. RELASI EKIVALEN
Adalah relasi yang memenuhi 3sifat
relasi yaitu reflektif, simetris dan transitif.
Contoh :
B = {a,b,c,d} dan R =
{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d)}
Apakah R ekivalen atau tidak ?
Peny :
a.
Reflektif :
{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}, ya reflektif karena x Ñ” B berlaku (x,x) Ñ” R
b.
Simetris :
Karena untuk setiap x,y Ñ” B dengan xRy berlaku yRx, maka R simetris.
Contoh : {(a,b),(b,a)}
c.
Transitif :
{(a,b),(b,a),(a,a)}, karena x,y,z Ñ” B dengan xRy dan yRz berlaku xRz,
Maka R adalah relasi
yang transitif.
Karena tiga sifat diatas yaitu
reflektif, simetrik dan transitif dipenuhi maka kita dapat
simpulkan bahwa R
adalah relasi ekivalen.
3. RELASI TOLAK PARSIAL (POSET)
Relasi R pada himpunan S dikatakan
relasi pengurutan parsial
jika ia refleksif, tolak
setangkup, dan menghantar. Himpunan S bersama-sama dengan relasi R disebut
himpunan
terurut sacara parsial, dan dilambangkan dengan (S, R).
Contoh 1:
Relasi pada himpunan bilangan
bulat adalah relasi pengurutan parsial.
Penyelesaian:
Relasi
refleksif
: karena a a untuk setiap bilangan bulat a
Relasi tolak-setangkup : karena jika a b
dan b , maka a = b.
Relasi
menghantar : karena
jika a b dan b c maka a c.
Contoh 2:
A = himpunan siawa SMP
R = relasi pada A
(a, b) R jika a sekelas
dengan b. Tentukan (A, R)
Penyelesaian:
R refleksif
: setiap siswa SMP sekelas dengan dirinya sendiri
R tolak setangkup
: jika a sekelas dengan b, maka b pasti
sekelas dengan a.
R menghantar
: jika a sekelas dengan b dan b sekelas
dengan c, maka
pastilah a sekelas
dengan c.
Catatan : Secara intuitif, di dalam relasi pengurutan parsial,
dua buah benda saling
berhubungan jika salah satunya lebih kecil (lebih besar)
atau lebih rendah (lebih
tinggi) daripada lainnya.
4. REPRESENTASI
a.
Representasi Notasi : R ⊆ (A x B)
Jika (a, b) ∈ R , maka kita dapat gunakan
notasi a R b yang artinya a dihubungkan dengan b oleh R.
Namun jika (a, b) ∉ R, maka kita dapat gunakan notasi a R b yang artinya a tidak
dihubungkan
dengan b oleh relasi R.
Misalkan P = {2,4,6} dan Q = {2,4,8,10,12,13}.
Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan
:
(p,q) ∈ R jika p habis membagi q.
maka kita peroleh
R =
{(2,2),(2,4),(2,8),(2,10),(2,12),(4,4),(4,8),(4,12),(6,12)}
b. Representasi Table
Relasi dapat direpresentasikan menggunakan
tabel. Kolom pertama untuk menyatakan
daerah asal, sedangkan kolom kedua untuk
menyatakan daerah hasil.
Misalkan P = {2,4,6} dan Q = {2,4,8,10,12,13}.
Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan :
(p,q) ∈ R jika p habis membagi q.
maka kita peroleh
R = {(2,2),(2,4),(2,8),(2,10),(2,12),(4,4),(4,8),(4,12),(6,12)}
c. Representasi Matriks
Misalkan R adalah relasi dari A =
{a1, a2, …, an} dan B ={b1, b2, …, bn}. Relasi R
dapat
disajikan dengan matriks M = [mij], dimana :
Dengan kata lain, elemen matriks bernilai 1 jika a¡ dihubungkan dengan bj, dan bernilai 0
jika tidak dihubungkan dengan bj.
Relasi pada contoh 1 dapat dinyatakan dengan matriks berikut :
b4 = TI221.
d. Representasi Graf Berarah
Pada graf berarah, tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (vertex), dan tiap
pasangan nya dinyatakan dengan busur (arc) yang arahnya ditunjukkan pada sebuah panah.
Jadi, jika (a, b) ∈ R, maka busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul
asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).
Contoh :
a. Representasi graf untuk relasi R = {(a,b), (a,c), (b,a), (b,c), (c,d),(a,d)}
b. Representasi graf untuk relasi R = {(2,2), (2,5), (2,7), (3,8)}
Ditunjukkan pada gambar berikut :
Setiap elemen pada himpunan A maupun himpunan B gambarkan dengan sebuah simpul (titik
bulat) dan arah dari suatu elemen ke elemen yang lainnya ditunjukkan dengan sebuah panah.
Representasi dengan model ini dapat dikatakan paling mudah untuk dibaca dibanding kedua
representasi yang lainnya.
DAFTAR PUSTAKA
https://lamalamatika.wordpress.com/materi-relasi/
Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Revisi Kelima. Penerbit Informatika
Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Revisi Kelima. Penerbit Informatika
